ตรรกศาสตร์เบื้องต้น
หมายถึง ประโยคหรือข้อความที่ใช้สำหรับบอกค่าความเป็นจริงหรือเท็จเพียงอย่างใดอย่าง หนึ่ง ส่วนประโยคหรือข้อความที่ไม่สามารถบอกค่าความจริงหรือเป็นเท็จได้จะไม่เรียกว่า ประพจน์
ตัวอย่างของประโยคหรือข้อความที่เป็นประพจน์ เช่น
ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก
สุนัขมี 4 ขา
ประเทศไทยมีชายแดนติดกับประเทศอินเดีย
เดือนมกราคมมี 30 วัน
ตัวอย่างของประโยคหรือข้อความที่ไม่เป็นประพจน์ เช่น
ห้ามเดินลัดสนาม
กรุณาปิดไฟก่อนออกจากห้อง
เธอกำลังจะไปไหน
เขาเป็นนักฟุตบอลทีมชาติไทย
Y + 5 = 8
คือ ประโยคหรือข้อความที่มีค่าตัวแปรอยู่ในประโยค และยังไม่สามารถทราบค่าความจริง ถ้าทำการแทนค่าตัวแปรนั้นด้วยค่าบางอย่าง จำทำให้ประโยคหรือข้อความนั้นมีค่าออกมาเป็นจริงหือเป็นเท็จ ต้วอย่างของประโยคเปิด เช่น
เขาเป็นนักฟุตบอลทีมชาติไทย ถ้าแทนเขาด้วยชื่อของนักฟุตบอลทีมชาติไทยประโยคนี้จะมีค่าเป็นจริง ถ้าแทนเข้าด้วยอื่นที่ไม่ใช่ชื่อนักฟุตบอลทีมชาติไทย ประโยคนี้จะมีค่าเป็นเท็จ
Y + 5 = 8 ถ้าแทนค่าของ Y ด้วย 3 ประโยคนี้จะมีค่าออกมาเป็นจริง ถ้าแทนค่าของ Y ด้วย ตัวเลขอื่น ประโยคนี้จะมีค่าออกมาเป็นเท็จ
ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ใช้สำหรับกรณีที่ต้องการเชื่อมประพจน์มาก ว่า 1 ประพจน์เข้าด้วยกัน เรียกว่า ประพจน์เชิงประกอบ ส่วนประพจน์ที่ไม่มีตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ เรียกว่า ประพจน์เดี่ยว สัญลักษณ์ที่ใช้สำหรับเป็นตัวเขื่อมทางตรรกศาสตร์มีดังต่อไปนี้
ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ | สัญลักษณ์ |
และ | |
หรือ | |
ถ้า...แล้ว | |
ก็ต่อเมื่อ | |
ไม่ | ~ |
ใน ทางตรรกศาสตร์เพื่อความสะดวกสำหรับการศึกษาเกี่ยวกับการทำงานของตัวเชื่อม ทางตรรกศาสตร์ นิยมแทนแต่ละประพจน์ด้วยตัวอักษร P,Q,R ... และใช้ T (True) และ F (False) แทนค่าของผลลัพธ์ที่ได้จากประพจน์เป็นจริงและเป็นเท็จ ตามลำดับ
ถ้า P แทนประพจน์ "ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก" ค่าของความจริงที่ได้จากประพจน์ P มีผลลัพธ์ออกมาเป็นจริง แทนค่าความจริงของประพจน์ P คือ T
ถ้า Q แทนประพจน์ "เดือนมกราคมมี 30 วัน" ค่าของความจริงที่ได้จากประพจน์ Q มีผลลัพธ์ออกมาเป็นเท็จ แทนค่าความจริงของประพจน์ Q คือ F
ถ้า P แทนประพจน์ "ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก" ค่าของความจริงที่ได้จากประพจน์ P มีผลลัพธ์ออกมาเป็นจริง แทนค่าความจริงของประพจน์ P คือ T
ถ้า Q แทนประพจน์ "เดือนมกราคมมี 30 วัน" ค่าของความจริงที่ได้จากประพจน์ Q มีผลลัพธ์ออกมาเป็นเท็จ แทนค่าความจริงของประพจน์ Q คือ F
ข้อความ | สัญลักษณ์ |
ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก และ เดือนมกราคม มี 30 วัน | |
ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก หรือ เดือนมกราคม มี 30 วัน | |
ถ้าดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก แล้ว เดือนมกราคม มี 30 วัน | |
ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก ก็ต่อเมื่อ เดือนมกราคม มี 30 วัน |
ถ้าให้ P,Q คือ ประพจน์ และ T,F คือผลลัพธ์ของประพจน์ ที่เป็นจริงและเป็นเท็จตามลำดับ ผลลัพธ์ที่ได้จากการกระทำของตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์แต่ละชนิดได้ ดังนี้
ค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "และ" ผลลัพธ์ของประพจน์เชิงประกอบทีได้จากการกระทำของตัวเชื่อมทาง ตรรกศาสตร์ "และ" จะเป็นจริงเพียงกรณีเดี่ยว คือ เมื่อค่าความจริงของประพจน์ทั้งสองที่นำมากระทำกันเป็นจริงทั้งคู่ ถ้ามีประพจน์ใดประพจน์หนึ่งเป็นเท็จ ผลลัพธ์ที่ได้จะออกมาเป็นเท็จทันที
P | Q | P ^ Q |
F | F | F |
F | T | F |
T | F | F |
T | T | T |
ตารางค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "และ" | ||
ค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "หรือ"
ผลลัพธ์ของประพจน์เชิงประกอบทีได้จากการกระทำของตัวเชื่อมทาง ตรรกศาสตร์ "หรือ" จะเป็นจริงเมื่อค่าความจริงของประพจน์ใดประพจน์หนึ่งเป็นจริง ถ้าประพจน์ทั้งสองที่นำมากระทำกันเป็นเท็จทั้งคู่ ผลลัพธ์ที่ได้จะออกมาเป็นเท็จ
ผลลัพธ์ของประพจน์เชิงประกอบทีได้จากการกระทำของตัวเชื่อมทาง ตรรกศาสตร์ "หรือ" จะเป็นจริงเมื่อค่าความจริงของประพจน์ใดประพจน์หนึ่งเป็นจริง ถ้าประพจน์ทั้งสองที่นำมากระทำกันเป็นเท็จทั้งคู่ ผลลัพธ์ที่ได้จะออกมาเป็นเท็จ
P | Q | P v Q |
F | F | F |
F | T | T |
T | F | T |
T | T | T |
ตารางค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "หรือ" | ||
ค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ถ้า....แล้ว" ประพจน์เชิงประกอบทีได้จากการกระทำจองตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ถ้า...แล้ว" จะเป็นลักษณะของประพจน์ที่เป็นเหตุเป็นผลกัน โดยประพจน์ที่อยู่ถัดจาก "ถ้า" จะเป็นประพจน์ที่เป็นเหตุ ส่วนประพจน์ที่อยู่ถัดจาก "แล้ว" จะเป็นประพจน์ที่เป็นผล ผลลัพธ์ที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ถ้า...แล้ว" จะเป็นเท็จเมื่อ
ค่าความจริงของประพจน์ที่เป็นเหตุเป็นจริงและประพจน์ที่ เป็นผลมีค่าเป็นเท็จ นอกนั้นในกรณีอื่นผลลัพธ์เชิงประกอบทีได้จะมีค่าออกมาเป็นจริง
P | Q | |
F | F | T |
F | T | T |
T | F | F |
T | T | T |
ตารางค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ถ้า...แล้ว" | ||
ค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ก็ต่อเมื่อ"
การกระทำของตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ก็ต่อเมื่อ" ผลลัพธ์ของประพจน์เชิงประกอบทีได้จะเป็นจริงเมื่อค่าความจริงของประพจน์ทั้ง สองที่นำมากระทำกันมีค่าความจริงที่เหมือนกันคือ ค่าความจริงของประพจน์เป็นจริงทั้งคู่หรือเป็นเท็จทั้งคู่ ถ้าค่าความจริงของประพจน์ทั้งสองที่นำมากระทำกันมีค่าต่างกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะออกมาเป็นเท็จ
การกระทำของตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ก็ต่อเมื่อ" ผลลัพธ์ของประพจน์เชิงประกอบทีได้จะเป็นจริงเมื่อค่าความจริงของประพจน์ทั้ง สองที่นำมากระทำกันมีค่าความจริงที่เหมือนกันคือ ค่าความจริงของประพจน์เป็นจริงทั้งคู่หรือเป็นเท็จทั้งคู่ ถ้าค่าความจริงของประพจน์ทั้งสองที่นำมากระทำกันมีค่าต่างกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะออกมาเป็นเท็จ
P | Q | |
F | F | T |
F | T | F |
T | F | F |
T | T | T |
ตารางค่าความจริงที่ได้จากตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ "ก็ต่อเมื่อ" | ||
P | Q | ~P |
T | F | F |
F | T | T |
ตารางค่าความจริงที่ได้จากการกระทำนิเสธของประพจน์ | ||
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนตารางค่าความจริงของ ~Q^R
จากตัวอย่างประพจน์นี้ปรกอบด้วย 2 ประพจน์ย่อย ดังนี้ ค่าความจริงที่สามารถเป็นไปได้มีทั้งหมด 4 กรณี สามารถเขียนเป็นตารางค่าความจริงได้ ดังนี้
Q | R | ~Q | ~Q^R |
F | F | T | F |
F | T | T | T |
T | F | F | F |
T | T | F | F |
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนตารางค่าความจริงของ (~Q^R) v (R^~S)
จากตัวอย่างประพจน์นี้ปรกอบด้วย 3 ประพจน์ย่อย คือ Q,R และ S ดังนั้นค่าความจริงที่สามารถเป็นไปได้มีทั้งหมด 23 = 8 กรณี สามารถเขียนเป็นตารางความจริงได้ ดังนี้
จากตัวอย่างประพจน์นี้ปรกอบด้วย 3 ประพจน์ย่อย คือ Q,R และ S ดังนั้นค่าความจริงที่สามารถเป็นไปได้มีทั้งหมด 23 = 8 กรณี สามารถเขียนเป็นตารางความจริงได้ ดังนี้
Q | R | S | ~R | Q^~S | ~S | R^~S | (A^~R) v (R^~S) |
F | F | F | T | F | T | F | F |
F | F | T | T | F | F | F | F |
F | T | F | F | F | T | T | T |
F | T | T | F | F | F | F | F |
T | F | F | T | T | T | F | T |
T | F | T | T | T | F | F | T |
T | T | F | F | F | T | T | T |
T | T | T | F | F | F | F | F |
ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนตารางค่าความจริงของ (~Q^R)<-->(Q^R)
จากตัวอย่างประพจน์นี้ปรกอบด้วย 2 ประพจน์ย่อย ดังนี้ ค่าความจริงที่สามารถเป็นไปได้มีทั้งหมด 4 กรณี สามารถเขียนเป็นตารางค่าความจริงได้ ดังนี้
จากตัวอย่างประพจน์นี้ปรกอบด้วย 2 ประพจน์ย่อย ดังนี้ ค่าความจริงที่สามารถเป็นไปได้มีทั้งหมด 4 กรณี สามารถเขียนเป็นตารางค่าความจริงได้ ดังนี้
Q | R | ~Q | ~Q v R | Q^R | (~QvR)<-->(Q^R) |
F | F | T | T | F | F |
F | T | T | T | F | F |
T | F | F | F | F | T |
T | T | F | T | T | T |
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ คือ P^~Q เมื่อประพจน์ P และ ประพจน์ Q มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งสองประพจน์ | |
ตัวอย่าง ที่ 2 จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้ คือ (P^~R)-->(R<-->Q) เมื่อประพจน์ P และ ประพจน์ Q มีค่าความจริงเป็นจริงและประพจน์ R มีค่าความเป็นจริงเป็นเท็จ |
ตัวอย่างที่ 1 จงทำการตรวจสอบว่าประพจน์ P-->(QvP) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
Q | P | QvP | P-->(QvP) |
F | F | F | T |
F | T | T | T |
T | F | T | T |
T | T | T | T |
ประพจน์ P -->(QvP) เป็นสัจนิรันดร์ | |||
ตัวอย่างที่ 2 จงทำการตรวจสอบว่าประพจน์ (P-->(QvR))v(Q<-->(P^R)) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
P | Q | R | QvR | P-->(QvR) | P^R | (Q<-->(P^R) | (P-->(QvR))v(Q<-->(P^R)) |
F | F | F | F | T | F | T | T |
F | F | T | T | T | F | T | T |
F | T | F | T | T | F | F | T |
F | T | T | T | T | F | F | T |
T | F | T | F | F | F | T | T |
T | F | F | T | T | T | F | T |
T | T | T | T | T | F | F | T |
T | T | T | T | T | T | T | T |
ประพจน์ (P-->(QvR))v(Q<-->(P^R)) เป็นสัจนิรันดร์ | |||||||
ตัวอย่างที่ 1 จงทำการตรวจสอบว่าประพจน์ P-->Q และ ~Q-->~P เป็นประพจน์ที่สมมูลกันหรือไม่
P | Q | P-->Q | ~P | ~Q | ~Q-->~P |
F | F | T | T | T | T |
F | T | T | T | F | T |
T | F | F | F | T | F |
T | T | T | F | F | T |
P-->Q และ ~Q-->~P เป็นประพจน์ที่สมมูลกัน | |||||
หรือเขียนได้ว่า P-->Q | |||||
ตัวอย่างที่ 2 จงทำการตรวจสอบว่าประพจน ์(P-->(QvR))v(Q<-->(P^R)) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
P | Q | P-->Q | ~(P-->Q) | ~Q | P^~Q |
F | F | T | F | T | F |
F | T | T | F | F | F |
T | F | F | T | T | T |
T | T | T | F | F | F |
ประพจน์ ~(P-->Q) และ P^~Q เป็นประพจน์ที่สมมูลกัน | |||||
หรือเขียนได้ว่า ~(P-->Q) | |||||
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น